數(shù)學(xué)解題的思維過程

　　數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。

　　對于數(shù)學(xué)解題思維過程，G . 波利亞提出了四個階段*（見附錄），即弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧。這四個階段思維過程的實質(zhì)，可以用下列八個字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。

　　第一階段：理解問題是解題思維活動的開始。

　　第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。

　　第三階段：計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。

　　第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。

　　數(shù)學(xué)解題的技巧

　　為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。

　　一切解題的策略的基本出發(fā)點在于變換，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達到解決原題的目的。

　　基于這樣的認識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。

　　一、 熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，順利地解出原題。

　　一般說來，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認識和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。

　　常用的途徑有：

　　（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識和題型：

　　按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。

　　（二）、全方位、多角度分析題意：

　　對于同一道數(shù)學(xué)題，常常可以不同的側(cè)面、不同的角度去認識。因此，根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗，適時調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。

　　（三）恰當構(gòu)造輔助元素：

　　數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。

　　數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。

　　二、簡單化策略

　　所謂簡單化策略，就是當我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。

　　簡單化是熟悉化的補充和發(fā)揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。

　　因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進行的，只是著眼點有所不同而已。

　　解題中，實施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當分解結(jié)論等。

　　1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：

　　在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。

　　因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。

　　2、分類考察討論：

　　在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當?shù)姆诸悩藴剩言}分解成一組并列的簡單題，有助于實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。

　　3、簡單化已知條件：

　　有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。

　　4、恰當分解結(jié)論：